$ \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\F}{\mathbb{F}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\U}{\mathbb{U}} \newcommand{\E}{\mathbb{E}} \DeclareMathOperator{rg}{rg} $

Présentation du concours

Le second concours de l'ENS LYON est réservé aux étudiant(e)s de la filière universitaire en L2 ou L3 ayant validé 120 crédits ECTS au terme de la session de concours. Les lauréats ont le statut d'élèves (normaliens fonctionnaires-stagiaires, payés, engagement décénal) et intègrent la formation en 1ère année, pour 4 ans. Site officiel du second concours de l'ENS LYON. Attention, il existe d'autres concours (ayant maintenant un nom identique) pour intégrer les ENS de Saclay et de Rennes, mais avec d'autres règles d'admission (élèves de prépa acceptés), directement en deuxième année, pour trois ans (informations sur la page d'Olivier Garet).
Remarque : les candidat(e)s échouant au second concours de Lyon peuvent de toute façon candidater sur dossier aux magistères des ENS, et peuvent bien sûr candidater au tout récent magistère de mathématiques de Nancy (Poincaré) ! (Puis éventuellement retenter Saclay et Rennes l'année suivante.)

Écrit

Les documents viennent des pages des différentes sessions sur le site de l'ENS Lyon, cette page ne sert qu'à les regrouper en un seul endroit de manière pratique et à donner une description rapide des thèmes abordés.

2024 I. Intégrales à paramètre, suites de fonctions, équations différentielles. II. Moments d'une loi de Poisson, nombres de Bell, séries génératrices. III. Matrices de Gram et applications.
2023 I. Inégalité de Smirnov, séries entières. II. Marches aléatoires en dimension deux et trois. III. Exponentielle matricielle.
2022 I. Principe d'incertitude : matrices, transformée de Fourier, séries entières. II. Matrices $k$-Hadamard. III. Normes d'opérateur de matrices aléatoires.
2021 I. Transformée de Fourier et Laplace du sinus cardinal, probabilités. II. Dimension des ss-algèbres nilpotentes de $M_n(\R)$.
2020 I. Sous-monoïdes de $\N$, polynômes. II. Points aléatoire du cercle.
2019 I. Analyse locale. II. Algèbres non commutatives, polynômes, matrices nilpotentes et unipotentes.
2018 I. Algèbre. II. Équations différentielles.
2017 I. Matrices symétriques définies positives, racines carrées, concavité. II. Aire des domaines quarrables
2016 Polynômes de Bernstein : polynômes, combinatoire, valeurs propres, preuve probabiliste du théorème de convergence uniforme de Weierstrass.
2015 I. Probabilités et polynômes. II. Variations sur la fonction cotangente.
2014 Convergence des séries au sens de Cesàro et d'Abel. Un théorème Taubérien.
2013 Géométrie des convexes : projection sur un convexe fermé, théorème de Carathéodory, théorème de Hahn-Banach, théorème du point fixe de Markov-Kakutani, application cohomologique.
2012 I. Approximation d'exponentielles de matrices. II. Fonctions mid-convexes.
2011 Image numérique d'une matrice, théorème de Toeplitz-Hausdorff.
2010 I. Valeurs propres du produit de deux matrices (quotients de Rayleigh, racines carrées de matrices SDP). II. Unicité du polyôme de meilleur approximation.
2009 I. Formule de Baker-Campbell-Hausdorff. II. Points de discontinuité d'une fonction croissante.
2008 I. Fonctions à variations bornées. II.Localisation de racines (résultant, formes hermitiennes).
2007 I. Polynômes d'interpolation de Fejér-Hermite. II. Inégalité de Kantorovitch.

Entraînement pour l'oral

Déroulement de l'oral

Aux oraux d'ENS (du premier ou du second concours), il est courant que l'examinateur-ice ne dise absolument rien pendant les dix premières minutes. Il faut apprendre à se sortir seul(e) de certaines situations:

Si on bloque, les indications canoniques risquent d'être: «Avez-vous fait un dessin?», «Avez-vous traité le cas $n=1$ et $n=2$ ?», «Connaissez-vous un résultat du cours qui ressemble à cet énoncé?». Ces indications ne doivent en théorie pas être nécessaires car elles relèvent de la méthodologie de base.
Important : une question ouverte ne doit pas provoquer de blocage. Il faut transformer la question en une ou plusieurs questions fermées et essayer de les démontrer. En général, l'étude de quelques exemples amène à formuler des conjectures.
Si on a une idée un peu vague mais qu'on ne sait pas si elle va marcher, il faut partir du principe que l'examinateur dira «c'est une bonne remarque, allez au bout de votre idée/de votre calcul». En d'autres termes, il faut être autonome et ne pas chercher la validation avant de s'engager.

Exercices d'entraînement

Les exercices suivants sont plutôt théoriques mais pas «infaisables» comme ceux de certains recueils. Ils sont accessibles dès que l'on connaît bien son cours (définitions, preuves, exemples) et que l'on a fait quelques exercices de calcul pour s'échauffer. Ils constituent un bon entraînement pour se frotter ensuite à des exercices plus difficiles.
Méthodologie suggérée.

Toujours rédiger en détail, comme si l'exercice devait être rendu. Un exercice que l'on n'a pas rédigé en détail ne doit pas être considéré comme fait. Des difficultés apparaissent en effet souvent au moment de rédiger avec précision.
Les exercices ci-dessous sont de type «théorique» donc il est conseillé de relire le chapitre de cours concerné pour faire retomber leur «difficulté ressentie».
Pendant la résolution de l'exercice, si la question est fermée (assertion précise à démontrer), traduire ce qui est demandé en assertion quantifiée et lister les différents types de preuve possible (absurde, récurrence...) Faire une liste des propriétés du cours qui pourraient éventuellement servir, des théorèmes du cours dont l'énoncé ou la preuve présente des ressemblances avec l'exercice.
Il est (très) fréquent que l'on n'arrive pas à faire l'exercice. Ce n'est pas à considérer comme un échec ou comme du temps perdu, au contraire. Consigner par écrit toutes les tentatives effectuées (points du cours et méthodes mobilisées et pourquoi ça n'a pas marché). Laisser reposer et reprendre l'exercice une ou deux semaines après. Si besoin, travailler l'exercice avec d'autres étudiants.

La liste se termine par quelques questions de culture générale, qui peuvent être creusées durant l'année de préparation.
En ce qui concerne les exercices concrets/pratiques (calculs sur des objets explicites), il est conseillé de travailler la liste officielle du concours CCP, qui fait le tour du programme en relativement peu d'exercices (120) dont les corrigés sont disponibles en ligne. Ces exercices doivent être parfaitement maîtrisés. (Par tout étudiant de L2, en fait.)

Attention, la liste qui suit est intentionnellement courte ( exercices). Elle ne prétend pas couvrir tout le programme ni refléter fidèlement le niveau du concours. C'est simplement un outil de préparation, parmi d'autres.