Initiation à la recherche (M1, parcours MFA); printemps 2013.
Université de Lorraine, Institut Elie Cartan
Calendrier
Les cours ont lieu le mardi à 10h et le mercredi à 14h. L'examen final aura lieu mardi 26 mars à 10h.
Le cours portera sur les groupes et algèbres de Lie classiques (matriciels).
Bibliographie pour le cours
Références à lire en premier:
- Mneimné, Testard: Introduction à la théorie des groupes de Lie classiques, Hermann. (Chapitres 1 à 3, à l'exception de 3.5, 3.6 et 3.7; début des chapitres 4 à 6)
- Hall: Lie Groups, Lie Algebras and Representations: An Elementary Introduction. Springer 2003. (Chapitres 1 et 2). Voir aussi le document suivant disponible sur arXiv.
Autres références utiles:
- Fulton, Harris: Representation Theory, A First Course, Springer. (Chapitres 7 à 11)
- Serre, Algèbres de Lie semisimples complexes. (Chapitres 1 à 4)
- Bouquins d'agreg pouvant être utiles pour certains exemples : Francinou-Gianella-Nicolas ("Oraux X-ENS"), Gourdon
Note
Examen final 50%, exposé 50%.
Programme de l'examen final: le cours, les exposés de tout le monde, les chapitres 1 à 3 du Mneimné-Testard, et les chapitres 1 et 2 du livre de Hall.
(en préparation) Exercices de révision sur l'algèbre linéaire de base, sur les algèbres et les groupes de Lie classiques, sur les définitions de base d'algèbres de Lie et de représentations,sur sl(2,C), sur les algèbres nilpotentes et résolubles, sur la forme de Killing. Examens blancs.
La note d'exposé dépendra de deux choses. Pour chaque exposé, des notes écrites doivent être rendues (avant l'exposé oral). Elles peuvent être manuscrites si elles sont très lisibles, autrement je conseille de les taper en latex. Ces notes doivent contenir ce qui sera fait lors de l'exposé, ainsi que les éventuelles démonstrations détaillées que vous seriez amenés à sauter lors de l'exposer pour gagner du temps ou améliorer l'exposition. Elles ne doivent pas faire plus de 10 pages. La note d'exposé tient compte pour moitié de la version écrite, et pour moitié de l'exposé oral lui-même : gestion du temps, clarté d'exposition, utilisation du tableau, et bien sûr contenu mathématique.
Déroulement du cours (prévisionnel)
Séance 1: groupe linéaire et ses sous-groupes, sous-variétés.
Séance 2: groupes classiques et sous-variétés, introduction aux algèbres de Lie.
Séance 3: représentations des algèbres de Lie, représentations simples de dimension finie de sl(2,C).
Séance 4: exposés, théorèmes de Lie et Engel.
Séance 5 (mardi 5 mars): Formes bilinéaires invariantes, forme de Killing, radical.
Séance 6 (mercredi 12 mars): Exposés, exemples de formes de Killing, classification en basse dimension.
Séance 7 (mardi 12 mars): Exposés, radical, algèbres semisimples.
Séance 8 (mercredi 13 mars): 1ère heure : sl(2) triplets, Jacobson-Morozov, Levi-Malcev. Deuxième heure : exposé sur les systèmes de racines.
Séance 9 (mardi 19 mars): Fin systèmes de racines, puis exposé sur les sous-algèbres de Cartan.
Séance 10 (mercredi 20 mars): fin de la classification des algèbres de Lie semisimples complexes.
Examen mardi 26 mars.
Exposés
Les exposés durent une heure.
Planning:
- Théorèmes de Lie et d'Engel, Lucie, Julian.
- Exemples et étude d'algèbres de Lie classiques, classification en petite dimension : Gwladys, Julien.
- Algèbres de Lie semisimples complexes : Anaïs, Aline, Miguel.
- Introduction aux systèmes de racines et à leur classification : Inés (exposé à intercaler au milieu de ceux sur les algèbres semisimples).
Autres thèmes:
- Sous-groupes à un paramètre de GL (non bornés, bornés, périodiques, image fermée ou pas, etc. Sous-groupes fermés commutatifs de GL). Références : deux exercices du Francinou-Gianella-Nicolas ("oraux X-ens")
- Théorème de Von Neuman sur les sous-groupes fermés de GL (réf : Mneimné, Godement, autres ?)
- SU(2) et SO(3) (quaternions, représentation adjointe, complexification)
- Formes réelles d'algèbres de Lie complexes, formes compactes, exemples.
- Groupes symplectiques.
- Isomorphismes exceptionnels, plusieurs exemples.
- Le groupe de Heisenberg.
- Décompositions de Cartan et d'Iwasawa. Exemples.
- Groupes et algèbres de Lie abstraits : dérivations, champs de vecteurs, exponentielle
Vous pouvez éventuellement proposer d'autres idées d'exposé, on discutera au cas par cas. L'important est que chacun choisisse relativement vite son sujet pour ne pas avoir à préparer au dernier moment.