(travail en commun avec R. Rouquier) Si W est un groupe de réflexions complexes, nous construisons, via la théorie des représentations de l'algèbre de Cherednik correspondante en $t=0$, des caractères, non nécessairement irréductibles, de $W$, que nous appelons caractères cellulaires. Lorsque $W$ est un groupe de Coxeter, nous conjecturons qu'ils coïncident avec les caractères associés aux cellules de Kazhdan-Lusztig à gauche de $W$. Nous montrerons qu'ils partagent avec eux de nombreuses propriétés. Notre résultat principal est que les caractères cellulaires associés aux points lisses de l'espace de Calogero-Moser sont irréductibles, conformément a la conjecture : nous essaierons d'esquisser la preuve de ce théorème, qui est de nature géométrique et repose sur la théorie de Bialinicky-Birula.
Dans cet exposé, on s'intéressera aux classes semi-simples des groupes réductifs finis. En particulier, on donnera différentes approches pour évaluer leur nombre, basées sur la théorie des caractères de Gelfand-Graev et sur une généralisation au cas non simplement connexe du complexe de Brauer.
La cohomologie à coefficients dans un corps de caractéristique positive des variétés de Deligne—Lusztig produit des représentations modulaires des groupes réductifs finis. Dans cet exposé je donnerai quelques propriétés et conjectures (en commun avec G. Malle) permettant d’identifier les représentations qui apparaissent. J’illustrerai ces phénomènes sur de petits exemples comme les groupes $SU_4(q)$ ou $G_2(q)$ où déjà les méthodes algébriques se sont révélées insuffisantes.
Les variétés de Deligne-Lusztig paraboliques sont des variétés de drapeaux partiels. Une version géométrique de la conjecture du défaut abélien de Broué prédit qu'une algèbre de Hecke cyclotomique agit sur la cohomologie de certaines de ces variétés. On expliquera comment obtenir une telle action à partir d'une action d'un monoide de tresses sur la variété elle-même. Pour celà on est amené à utiliser la structure de Garside des groupes de tresses (travail commun avec Jean Michel).
Les représentations de Springer sont une réalisation géométrique des représentations irréductibles du groupe de Weyl d'un groupe réductif. Cette construction classique (1976) a encore un impact important en théorie des représentations. Ce mini-cours vise à présenter la construction de Springer de manière synthétique. On introduit tout d'abord les objets qui interviennent dans la construction: cône nilpotent, orbites nilpotentes, résolution de Springer. Puis les techniques utilisées: théorie des faisceaux et des faisceaux pervers. Enfin, en réunissant les ingrédients et les techniques, on explique la construction en tant que telle.
La construction géométrique des représentations du groupe de tresses, sur un corps $K$ de caractéristique $0$, qui proviennent de l'algèbre d'Iwahori-Hecke de type A permet de prédire quelle sera, "la plupart du temps", l'image du groupe de tresses quand $K$ est un corps fini. Dans un travail en cours avec O. Brunat et K. Magaard nous confirmons ces prédictions. Dans cet exposé je présenterai la construction géométrique, en quoi elle donne des informations sur l'image du groupe de tresses, et des indications sur la preuve du "cas fini".
Je vais présenter le programme "Spetses" que Michel Broué, Gunter Malle et moi avons entamé il y a 20 ans. Il s'agit, pour certains groupes de réflexions complexes finis W dits 'Spetsiaux' (ce terme inclut les groupes de Coxeter finis), de phénomènes combinatoires déterminés par une algèbre de Hecke cyclotomique "Spetsiale" associée, qui suggèrent l'existence d'une "catégorie de représentations unipotentes du groupe algébrique dont W est le groupe de Weyl" (groupe algébrique qui, bien entendu, n'existe pas).
En 200, Hori et Vafa ont conjecturé un miroir pour les hypersurfaces projectives, sous la forme d'un polynôme de Laurent. Pour une quadrique Q de dimension m, ces polynômes n'ont malheureusement pas le nombre de points critiques attendus (soit $dim H^*(Q,C)$), et ils ne possèdent donc pas toutes les propriétés souhaitées pour un miroir. Une autre approche est de considérer Q comme espace homogène sous l'action de $Spin(m+2)$. Elle possède alors un miroir, construit à l'aide de la théorie de Lie par K. Rietsch en 2008, qui possède le bon nombre de points critiques.
Dans cet exposé, j'expliquerai comment exprimer ce miroir W en termes de coordonnées naturelles sur un ouvert affine d'un `espace homogène miroir' Y plongé dans l'espace projectif $\mathbb P(H^*(Q,C)^*)$. Ceci me permet de calculer explicitement le terme constant de la fonction $J$ de la quadrique $Q$ (fonction génératrice des invariants de Gromov-Witten de $Q$ avec un point marqué) à l'aide d'intégrales de périodes pour $W$, à la manière de Bertram-Ciocan-Fontanine-van Straten pour la grassmannienne $Gr(2,n)$.
Soit $K$ un groupe de Lie compact et connexe. Rappelons que l'ensemble des classes de conjugaison de $K$ est naturellement en bijection avec un cône convexe polyédral appelé alcôve et noté ${\mathcal A}$.
Le produit de deux classes de conjugaison ${\mathcal O}_1$ et
${\mathcal O}_2$ dans $K$ est une réunion de classes de conjugaisons; et donc correspond à une partie de ${\mathcal A}$.
En fait cette partie est un polytope. Nous présenterons quelques résultats récents sur ces polytopes.
La correspondance de Springer (due originellement à Springer dans les années 70) fournit une injection de l'ensemble des classes d'isomorphismes de représentations simples (complexes) du groupe de Weyl d'un groupe réductif G vers l'ensemble des classes d'isomorphisme de faisceaux pervers équivariants sur le cône nilpotent de G. Cette injection a été "complétée" par Lusztig (dans les années 80) en une "correspondance de Springer generalisée" pour fournir une bijection. Dans une autre direction, Juteau a adapté la construction de la correspondance de Springer au cadre modulaire (c'est-à-dire pour des coefficients en caractéristique positive). Dans cet exposé nous présenterons une approche (développée dans un travail en collaboration avec P. Achar, A. Henderson et D. Juteau) qui adapte la correspondance généralisée au cadre modulaire. Cette approche permet de démontrer cette correspondance pour le groupe GL(n), et devrait pouvoir être développée pour tous les groupes.